Продольные колебания стержня закрепленного пружиной. Продольные волны. Влияние постоянной продольной силы
Рассмотрим стержень длиной l , который в положении равновесия находится вдоль оси Ох. Его продольные колебания описываются функцией Q(x,t), представляющей собой в каждый момент времени t продольное смещение точки стержня, координата которой в положении равновесия была равна х. Предполагается, что натяжение в стержне подчиняется закону Гука. Тогда уравнение, описывающее продольное колебание стержня имеет вид:
где а – волновая скорость, м/с;
f(x,t) – удельная сила, м/с 2 .
Волновая скорость стержня определяется согласно выражению:
,
(2.16)
где k – коэффициент упругости, Н;
ρ – линейная плотность (масса, приходящаяся на единицу длины стержня), кг/м.
Коэффициент упругости k может быть найден следующим образом:
,
(2.17)
Е – модуль Юнга (напряжение, возникающее в образце при увеличении (уменьшении) его длины в два раза при прочих неизменных условиях), Н/м 2 .
Для однородного стержня k=const, ρ=const. В противном случае k(х), ρ(х).
Удельная сила, в свою очередь, может быть представлена в виде:
,
(2.18)
где g(x,t) – линейная плотность продольной внешней силы (сила, действующая на единицу длины), Н/м.
Начальные условия задаются в виде:
– профиля начальных смещений:
– профиля начальной скорости:
.
(2.20)
Граничные условия могут быть заданы для следующих случаев:
1) Первая краевая задача (граничные условия 1 рода):
где μ 1 (t), μ 2 (t) – заданные функции времени, описывающие закон
движения конца стержня.
Для жестко закрепленного конца μ(t)=0.
2) Вторая краевая задача (граничные условия 2 рода):
;
(2.23)
,
(2.24)
где T 1 , T 2 – сила натяжения, приложенная к концу стержня, Н.
В случае свободного конца, натяжение стержня вблизи него отсутствует (g(t)=0).
3) Третья краевая задача (граничные условия 3 рода):
.
(2.25)
Данные условия формулируются в случае упругого закрепления стержня, при котором конец стержня может перемещаться, но возникает упругая сила, стремящаяся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.
Сформулировать краевую задачу о продольных колебаниях однородного цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к другому концу приложена сила F(t)=A·sin(ωt), направление которой совпадает с осью стержня.
Функция Q(x,t), описывающая продольные колебания стержня определяется уравнением:
.
Начальные условия нулевые:
;
.
Граничные условия задаются в виде:
;
,
где S – площадь поперечного сечения стержня, м 2 ;
E – модуль Юнга материала стержня, Па (см. Приложение).
Общие замечания.
1) Если
рассматривается колебательный процесс
струны (стержня), у которой концы находятся
достаточно далеко и в течение небольшого
интервала времени влияние концов еще
не успевает проявиться, то можно считать
струну бесконечной. При этом рассматривается
задача, в которой -∞ 2) Если
рассматриваемый участок струны (стержня)
находится вблизи от одного его конца и
далеко от другого, то рассматривается
задача о полубесконечной струне, когда
0≤x<+∞
и граничные условия формулируются
только на одном ее конце. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Продольная волна
– это волна, при распространении которой смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны (рис.1, а). Причиной возникновения продольной волны является сжатия/растяжения, т.е. сопротивление среды изменению ее объема. В жидкостях или газах такая деформация сопровождается разрежением или уплотнением частиц среды. Продольные волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных. Примерами продольных волн являются волны в упругом стержне или звуковые волны в газах. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Поперечная волна
– это волна, при распространении которой смещение частиц среды происходит в направлении, перпендикулярном распространению волны (рис.1,б). Причиной поперечной волны является деформация сдвига одного слоя среды относительно другого. При распространении поперечной волны в среде образуются гребни и впадины. Жидкости и газы, в отличие от твердых тел, не обладают упругостью по отношению к сдвигу слоев, т.е. не оказывают сопротивления изменению формы. Поэтому поперечные волны могут распространяться только в твердых телах. Примерами поперечных волн могут служить волны, бегущие по натянутой веревке или по струне. Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Если бросить на поверхность воды поплавок, то можно увидеть, что он движется, покачиваясь на волнах, по круговой . Таким образом, волна на поверхности жидкости имеет как поперечную, так и продольную компоненты. На поверхности жидкости также могут возникать волны особого типа – так называемые поверхностные волны
. Они возникают в результате действия и силы поверхностного натяжения. ПРИМЕР 1
Начертим поверхность волны вблизи поплавка через некоторый промежуток времени , учитывая, что за это время поплавок опустился вниз, так как его в момент времени была направлена вниз. Продолжив линию вправо и влево, покажем положение волны в момент времени . Сравнив положение волны в начальный момент времени (сплошная линия) и в момент времени (пунктирная линия), делаем вывод о том, что волна распространяется влево. Свободные колебания
систем с распределённымипараметрами
Основная
особенность процесса свободных колебаний систем с бесконечным числом степеней
свободы выражается в бесконечности числа собственных частот и форм колебаний. С
этим связаны и особенности математического характера: вместо обыкновенных
дифференциальных уравнений, описывающих колебания систем с конечным числом
степеней свободы, здесь приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в
частных производных. Кроме начальных условий, определяющих начальные смещения и
скорости, необходимо учитывать и граничные условия, характеризующие закрепление
системы. При анализе
продольных колебаний прямолинейного стержня (рис.67,а) будем считать, что
поперечные сечения остаются плоскими и что частицы стержня не совершают
поперечных движений, а перемещаются только в продольном направлении. Пусть u
-
продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях; это перемещение
зависит от расположения сечения (координаты x
) и от
времени t
. Таким образом, есть функция двух переменных; её определение и представляет
основную задачу. Перемещение бесконечно близкого сечения равно , следовательно, абсолютное удлинение бесконечно малого
элемента
равно (рис.67,б), а
относительное его удлинение . Соответственно
продольная сила в сечении с координатой х
может быть записана в виде где жёсткость стержня при
растяжении (сжатии). Сила N также является функцией двух аргументов –
координаты х
и времени t
. Рассмотрим
элемент стержня, расположенный между двумя бесконечно близкими сечениями
(рис.67,в). К левой грани элемента приложена сила N, а к правой – сила . Если обозначить через
плотность материала стержня, то масса
рассматриваемого элемента составляет
. Поэтому уравнение движения в проекции на ось х
Учитывая(173)ипринимая A
= const
, получим Следуя методу
Фурье, ищем частное решение дифференциального уравнения (175) в виде ,(177)
т.е.
предположим, что перемещение u
можно представить в виде
произведения двух функций, одна из которых зависит только от аргумента х
, а другая
только от аргумента t
. Тогда вместо определения
функции двух переменных u
(x
, t
) необходимо
определять две функции X(x
) и T(t
),
каждая из которых зависит только от одной переменной. Подставив (177) в (174), получим где
штрихами обозначена операция дифференцирования по x
, а точками – по t
. Перепишем это
уравнение таким образом:
Здесь левая
часть зависит только от x,а
правая – только от t
. Для тождественного выполнения этого равенства (при любых
x
и t
)
необходимо, чтобы каждая из его частей была равна постоянной, которую обозначим
через : ; .(178) Отсюда
следуют два уравнения: ; Первое
уравнение имеет решение: указывающее
на колебательный характер, причём из (180) видно, что неизвестная величина
имеет смысл частоты свободных
колебаний. Второе из
уравнений (179) имеет решение: определяющее
форму колебаний.
Частотное
уравнение, определяющее величину
, составляется путём использования граничных условий.
Это уравнение всегда трансцендентное и имеет бесконечное число корней. Таким
образом, число собственных частот бесконечно, причём каждому значению частоты соответствует своя
функция T n
(t
),
определяемая зависимостью (180), и своя функция Xn
(x
), определяемая зависимостью (181). Решение (177) является
лишь частным и не даёт полного описания движения. Полное решение получается
путём наложения всех частных решений: Функции X n
(x
) называются собственными функциями
задачи и описывают
собственные формы колебаний. Они не зависят от начальных условий и
удовлетворяют условию ортогональности, которое при А=const
имеет вид Рассмотрим
некоторые варианты граничных условий. Закреплённыйконец стержня
(рис.68,а). В концевом сечении перемещение u
должно быть равно нулю;
отсюда следует, что в этом сечении X=0(182)
Свободный конец стержня
(рис.68,б). В
концевом сечении продольная сила (183)
должна
тождественно равняться нулю, что возможно, если в концевом сечении X"=0. Упругозакреплённый
конец стержня
(рис.68,в). При
перемещении u
концевого стержня возникает
упругая реакция опоры еслиопора расположена на левом конце стержня
(рис.68,в),и если
опора расположена на правом конце стержня (рис.68,г).
Сосредоточенная масса на конце стержня.
Развиваемая
массой сила инерции: Так как, согласно
первому из уравнений (179),
, то сила инерции может быть записана в виде
. Получаем граничное условие если масса
находится на левом конце (рис.68,д),и если
масса связана с правым концом (рис.68,е).
Определим
собственные частоты консольного стержня (рис.68,a"). Согласно
(182) и (183), граничные условия X=0при х=0;
X"=0 при
х=
.
Подставляя
поочерёдно эти условия в решение (181), получим Условие С0 приводит к частотному уравнению: Корни этого
уравнения определяют собственные частоты:
Первая
(низшая) частота при n=1: Вторая
частота (при n=2): Определим собственные
частоты стержня с массой на конце (рис.68,е). Согласно
(182) и (184),имеем X=0 при
х=0;
Подставляя
эти условия в решение (181), получим: D=0; Следовательно,
частотное уравнение при учёте(176)
имеет вид Здесь
праваячасть представляет собой
отношение массы стержня к массе концевого груза. Для решения полученного
трансцендентного уравнения необходимо воспользоваться каким-либо приближённым
способом. При и
значения наиболее важного низшего корня
будут соответственно
0.32 и 0.65 . При малом
отношении решающее влияние
оказывает груз и хорошие результаты даёт приближённое решение Для стержней
переменного сечения, т.е. при Аconst
, из (173) и (174) получается
уравнение движения в виде Это
дифференциальное уравнение не поддаётся решению в замкнутом виде. Поэтому в
подобных случаях приходится прибегать к приближённым методам определения
собственных частот. Крутильные
колебания валас непрерывно
распределенной массой (рис.69,а) описываются уравнениями, которые по структуре
полностью совпадают с приведенными выше уравнениями продольных колебаний
стержней. Крутящий
моментМв сечении с абсциссой х
связан с углом поворота дифференциальной
зависимостью, аналогичной (173): где J p
-полярный момент инерции
поперечного сечения. В сечении,
расположенном на расстоянии dx
, крутящий момент равен (рис.69,б): Обозначая
через (где
- плотность материала вала)
интенсивность момента инерции массы вала относительно его оси (т.е. момент
инерции единицы длины), уравнение движения элементарного участка вала можно
записать так: или
подобно (174):
Подставляя сюда выражение (186), приJp
=const
получим, аналогично (175): Общее решение
уравнения (187), как и уравнения (175), имеет вид Собственные
частоты и собственные функции при этом определяются конкретными граничными
условиями. В основных
случаях закрепления концов аналогично случаю продольных колебаний получим а)
закрепленный конец (=0): Х=0; б) свободный
конец (М=0): Х"=0; в) упругозакрепленный
левый конец: СоХ=GJpX
"
(Со-коэффициент
жёсткости); г) упругозакрепленный
правый конец: -СоХ=GJpX
"; д
) диск на левом конце: е) диск на
правом конце: Если вал
закреплён на левом конце (х=0), а правый конец (х=
) свободен, то Х=0 при х=0 и Х"=0 при x=
; собственные частоты определяются аналогично (185): Если левый
конец закреплён, а на правом конце имеется диск, получим трансцендентное
уравнение: Если оба
конца вала закреплены, то граничные условия будут X=0 при х=0 и х=
. В этом случае из (188) получим т.е.
(n=1,2,…),
отсюда
находим собственные частоты:
Если левый
конец вала свободен, а на правом конце имеется диск, то X"=0 при х=0 ;Jo
X=GJpX
"при х=
. При помощи
(188) находим С=0; или
трансцендентное частотное уравнение:
Из курса сопротивления
материалов известны дифференциальные зависимости при изгибе балок: где
EJ - жёсткость при изгибе; y=y
(x
,
t
) - прогиб; M=M(x
, t
) - изгибающий момент; q
-
интенсивность распределённой нагрузки.
Объединяя
(189) и (190), получим В задаче о
свободных колебаниях нагрузкой для упругого скелета являются распределённые
силы инерции: где m
- интенсивность массы балки (масса единицы длины), и
уравнение (191) принимает вид В
частном случае постоянного поперечного сечения, когда EJ = const
,
m
= const
, имеем:
Для решения
уравнения (192) полагаем, как и выше, y
= X (x
)
×
T (t
).(193)
Подставляя (193)
в (192), приходим к уравнению: Для
тождественного выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из частей
равенства была постоянной. Обозначая эту постоянную через , получим два уравнения: Первое
уравнение указывает на то, что движение носит колебательный характер с частотой
. Второе
уравнение определяет форму колебаний. Решение уравнения (195) содержит четыре
постоянных и имеет вид Удобно
использовать вариант записи общего решения, предложенный А.Н.Крыловым: представляют
собой функции А.Н.Крылова.
Обратим
внимание на то, что S=1, T=U=V=0 при x=0. Функции S,T,U,V связаны между собой
следующим образом: Поэтому
производные выражения (197) записываются в виде В задачах
рассматриваемого класса число собственных частот бесконечно велико;
каждой из них отвечает своя функция времени T n
и своя фундаментальная функция X n
. Общее решение
получится путём наложения частных решений вида (193) Для
определения собственных частот и формул необходимо рассмотреть граничные
условия. Для каждого
конца стержня можно указать два граничных условия.
Свободный конец стержня
(рис. 70,а).
Нулю равны поперечная сила Q=EJX"""T и изгибающий момент M=EJX""T. Поэтому
граничные условия имеют вид X""=0;
X"""=0 .(202)
Шарнирно-опёртый конец стержня
(рис.70,б). Нулю равны прогиб y=XT
и изгибающий
момент M=EJX""T. Следовательно, граничные условиятаковы: X=0 ;
X""=0 .(203)
Защемленный конец
(рис.70,в). Нулю равны
прогиб y=XT
и угол поворота . Граничные условия: X=0;
X"=0 . (204)
На конце стержня имеется точечный груз массы
(рис.70,г). Его
сила инерции В первом условии знак плюс принимается в случае, когда
точечныйгруз связан с левым концом
стержня, и знак минус, когда он связан с правым концом стержня. Второе условие
вытекает из отсутствия изгибающего момента.
Упруго-опертый конец стержня
(рис.70,д).
Здесь изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила Q=EJX"""T равна реакции
опоры Граничные
условия: X""=0 ; (206)
(знак
минус принимается в случае, когда упругая опора является левой, и знак плюс,
когда она является правой).
Развёрнутая
запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно
постоянных C 1 , C 2 , C 3 , C 4 . Чтобы эти
постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный
из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих
операциях выясняются соотношения между C 1 , C 2 , C 3 ,
C 4 , т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до
постоянного множителя). Проследим
составление частотных уравнений на примерах. Для балки с
шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия:
X=0; X""=0 при x=0 и x=
. При помощи(197)-(200)
получим из первых двух условий: C 1 =C 3 =0. Два оставшихся
условия можно записать в виде Чтобы C 2
и C 4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя: Таким образом,
частотное уравнение имеет вид Подставляя
выражения T и U, получим Так как , то окончательно частотное уравнение записывается так: .
(207)
Корни этого
уравнения: ,(n
=1,2,3,...).
Учитывая
(196), получим Перейдём к определению
собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее
соотношениемежду постоянными C 2
и C 4: Следовательно,
(197) приобретает вид Согласно
(207), имеем где - новая постоянная,
значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение
начальные условия. Если
требуется определить движение, следующее после начального возмущения, то
необходимо указать для всех точек балки как начальные смещения, так и начальные
скорости: и использовать свойство
ортогональности собственных форм: Общее решение
(201) запишем так: Скорость
определяется выражением Подставляя в
правые части уравнений (211) и (212) , а в левые части - предполагаемые известными начальные
смещения и скорости, получим Умножая эти выражения
на и интегрируя по всей
длине, имеем Бесконечные
суммы в правых частях исчезли вследствие свойства ортогональности. Из (213)
следуют формулы для постоянных и Теперь эти
результаты нужно подставить в решение (211). Снова
подчеркнём, что выбор масштаба собственных форм несущественен. Если, например,
в выражении собственной формы (209) принять вместо величину в раз большую, то (214) дадут результаты в раз меньшие; после подстановки в решение (211) эти различия
компенсируют друг друга. Тем не менее часто пользуются нормированными
собственными функциями, выбирая их масштаб таким, чтобы знаменатели выражений
(214) равнялись единице, что упрощает выражения и . Рассмотрим
случай, когда колеблющаяся балка испытывает действие продольной силы N
, величина которой не
меняется в процессе колебаний. В этом случае уравнение статического изгиба
усложняется и приобретает вид (при условии, что сжимающая сила считается
положительной) Полагая и считая жёсткость
постоянной, получаем уравнение свободных колебаний Принимаем
по-прежнему частное решение в виде. Тогда уравнение (215) распадается на два
уравнения: Первое
уравнение выражает колебательный характер решения, второе определяет форму
колебаний, а также позволяет найти частоты. Перепишем его таким образом: (216)
где K
определяется формулой (196), а Решение
уравнения (216) имеет вид Рассмотрим
случай, когда оба конца стержня имеют шарнирные опоры. Условия на левом конце Приравнивая
нулю определитель, составленный из коэффициентов при величинах и , приходим к уравнению Корни этого
частотного уравнения: Следовательно,
собственная частота определится из уравнения Отсюда при
учёте (217) находим При растяжении
частота увеличивается,
при сжатии уменьшается. Когда
сжимающая сила N
приближается к критическому значению, корень стремится к нулю. Ранее
продольная сила считалась заданной и не зависящей от перемещений системы. В
некоторых практических задачах сопровождающая процесс поперечных колебаний
продольная сила возникает вследствие изгиба балки и носит характер реакции
опоры. Рассмотрим, например, балку на двух шарнирно-неподвижных опорах. При её
изгибе возникают горизонтальные реакции опор, вызывающие растяжение балки;
соответствующее горизонтальное усилие принято называть цепным усилием
. Если балка совершает поперечные колебания, то
цепное усилие будет изменяться во времени. Если в
мгновение t
прогибы
балки определяются функцией , то удлинение оси можно найти по формуле Соответствующее
цепное усилие найдём при помощи закона Гука Подставим
этот результат в (215) вместо продольной силы N
(с учётом знака) Полученное
нелинейное интегродифференциальное
уравнение
упрощается при помощи подстановки где безразмерная функция времени, максимальное значение которой
можно положить равным любому числу, например, единице; амплитуда колебаний. Подставляя (221) в (220), получим обыкновенное
дифференциальное уравнение
коэффициенты
которого имеют следующие значения:
Дифференциальное
уравнение (222) является нелинейным, следовательно, частота свободных колебаний
зависит от их амплитуды. Точное
решение для частоты поперечных
колебаний имеет вид где частота поперечных колебаний, вычисленная без учёта цепных
усилий; поправочный коэффициент, зависящий от отношения амплитуды
колебаний к радиусу инерции
поперечного сечения ; величина приводится в
справочной литературе. При
соизмеримости амплитуды и радиуса инерции поперечного сечения поправка к
частоте становится значительной. Если, например, амплитуда колебаний стержня
круглого сечения равна его диаметру, то , и частота почти в два раза больше, чем в случае свободного
смещения опор. Случай соответствует нулевому
значению радиуса инерции, когда изгибная жёсткость балки исчезающе
мала - струна. При этом формула для даёт неопределённость.
Раскрывая эту неопределённость, получим формулу для частоты колебаний струны Эта формула
относится к случаю, когда в положении равновесия натяжение равно нулю. Часто
задачу о колебаниях струны ставят в других предположениях: считают, что
перемещения малы, а растягивающая сила задана и остаётся неизменной в процессе
колебаний. При этом
формула для частоты имеет вид где N
- постоянная растягивающая
сила. Ранее
предполагалось, что материал стержней идеально упругий и трение отсутствует.
Рассмотрим влияние внутреннего трения, считая, что оно является вязким; тогда
связь напряжений с деформациями описывается соотношениями Пусть
стержень с распределёнными параметрами совершает свободные продольные
колебания. В этом случае продольная сила запишется в виде Из уравнения
движения элемента стержня было получено соотношение (174) Подставляя
сюда (224), приходим к основному дифференциальному уравнению которое отличается
от (175) вторым слагаемым, выражающим влияние сил вязкого трения. Следуя методу
Фурье, ищем решение уравнения (225) в виде где функция только координаты x
, а функция только времени t
. При этом
каждый член ряда должен удовлетворять граничным условиям задачи, а вся сумма -
также и начальным условиям. Подставляя(226)в(225)и требуя, чтобы равенство удовлетворялось для любого номера r
, получим где штрихи
обозначают дифференцирование по координате x
, а точки -
дифференцирование по времени t
. Разделив
(227) на произведение левая часть,
которого может зависеть только от координаты x
, а правая
- только от времени t
.
Для тождественного выполнения равенства (228) необходимо, чтобы обе части были
равны одной и той же постоянной, которую обозначим через . Из этого следуют уравнения
Уравнение
(229) не зависит от коэффициента вязкости K
и, в частности, остаётся таким же в случае идеально упругой
системы, когда . Поэтому числа полностью совпадают с
найденными ранее; однако, как будет показано ниже, величина даёт лишь приближённое
значение собственной частоты. Отметим, что собственные формы совершенно не
зависят от вязких свойств стержня, т.е. формы свободных затухающих колебаний
совпадают с формами свободных незатухающих колебаний. Теперь
перейдём к уравнению (230), описывающему процесс затухающих колебаний; его
решение имеет вид Выражение
(232) определяет темп затухания, а (233) - частоту колебаний. Таким
образом, полное решение уравнения задачи Постоянные и всегда можно найти по
заданным начальным условиям. Пусть начальные смещения и начальные скорости всех
сечений стержня заданы следующим образом: ; где и - известные функции. Тогда при , согласно (211) и (212), имеем умножая обе
части этих равенств на и интегрируя в
пределах всей длины стержня, получим Соответственно
условию ортогональности собственных форм все остальные слагаемые, входящие в
правые части этих равенств, обращаются в нуль. Теперь из равенств (236) легко
найти и для любого номера r
. Рассматривая
(232) и (234), заметим, что чем выше номер формы колебаний , тем быстрее её затухание. Кроме того, слагаемые, входящие
в(234), описывают затухающие колебания,
если есть действительное
число. Из (233) видно, что это имеет место лишь для нескольких начальных
значений r
, пока
выполняется неравенство При
достаточно больших значенияхr
неравенство (237)
нарушается и величина становится мнимой. При
этом соответствующие члены общего решения (234) уже не будут описывать
затухающие колебания, но будут представлять апериодическое затухающее движение.
Другими словами, колебания, в обычном смысле слова, выражает только некоторая
конечная часть суммы (234). Все эти
качественные выводы относятся не только к случаю продольных колебаний, но и к
случаям крутильных и изгибных колебаний. В тех
случаях, когда распределённая масса и сечение стержня переменны по его длине,
следует вместо уравнения продольных колебаний (175) исходить из уравнения Уравнение
крутильных колебаний (187) должно быть заменено уравнением а
уравнение поперечных колебаний (192) – уравнением
Уравнения
(238)-(240) при помощи однотипных подстановок ;;можно привести к
обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции > Продольные волны Изучите распространение, направление и скорость продольной волны
: какие волны продольные, как распространяются, примеры и колебания, как возникают, график. Иногда продольные волны именуют волнами сжатия. Колеблются в направлении распространения. Какие волны продольные? Лучше всего в качестве примера подходит звуковая волна. Она вмещает импульсы, выступающие результатом сжатия воздуха. По направлению вибрации продольные волны совпадают с направлением движения. То есть, перемещение среды расположено в той же стороне, что и волновое движение. Некоторые продольные волны именуют также компрессионными. Если хотите провести эксперимент, то просто приобретите игрушку Слинки (пружинка) и подержите ее за оба конца. В момент сжатия и ослабления импульс переместится к концу. Сжатая Слинки – пример продольной волны. Она распространяется в том же направлении, что и колебания
Продольные (как и поперечные) не вытесняют массу. Отличие в том, что каждая частичка в среде, сквозь которую распространяется продольная волна, будут осуществлять колебания вдоль оси распространения. Если вспомнить о Слинки, то катушки колеблются в точках, но не будут смещаться по длине пружинки. Не забывайте, что здесь транспортируется не масса, а энергия в виде импульса. В некоторых случаях такие волны выступают как волны давления. Ярким примером выступает звуковая. Они формируются при сжатии среды (чаще всего, воздух). Продольные звуковые волны – чередование отклонения давления от сбалансированного давления, что приводит к локальным участкам сжатия и разрежения. Материя в среде периодически смещается звуковой волной и осциллирует. Чтобы произвести звук, нужно сжать частички воздуха до определенного количества. Именно так формируются поперечные волны. Уши чувствительно реагируют на различное давление и переводят волны в тона. В этом параграфе нами будет рассмотрена задача о продольных колебаниях однородного стержня. Стержень - это тело цилиндрической (в частности, призматической) формы, для растяжения или сжатия которого надо приложить известное усилие. Мы будем считать, что все силы действуют вдоль оси стержня и каждое из поперечных сечений стержня (рис. 23) перемещается поступательно только вдоль оси стержня. Обычно это предположение оправдывается, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной, а силы, действующие вдоль оси стержня, сравнительно невелики. На практике продольные колебания возникают чаще всего тогда, когда стержень предварительно немного растягивается или, наоборот, сжимается, а затем предоставляется самому себе. В этом случае в нем возникают свободные продольные колебания. Выведем уравнения этих колебаний. Направим ось абсцисс по оси стержня (рис. 23); в состоянии покоя концы стержня имеют соответственно абсциссы Рассмотрим сечение ; - его абсцисса в состоянии покоя. Смещение этого сечения в любой момент времени t будет характеризоваться функцией для отыскания которой мы и должны составить дифференциальное уравнение. Найдем прежде всего относительное удлинение участка стержня, ограниченного сечениями Если абсцисса сечения в состоянии покоя , то смещение этого сечения в момент времени t с точностью до бесконечно малых высшего порядка равно Поэтому относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой в момент времени t равно Считая, что силы, вызывающие это удлинение, подчиняются закону Гука, найдем величину силы натяжения Т, действующей на сечение : где - площадь поперечного сечения стержня, а - модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня. Формула (5.2) должна быть хорошо известна читателю из курса сопротивления материалов. Соответственно сила действующая на сечение равна Поскольку силы заменяют действие отброшенных частей стержня, их результирующая равна разности Считая выделенный участок стержня материальной точкой с массой , где - объемная плотность стержня, и применяя к нему второй закон Ньютона, составим уравнение Сокращая на и вводя обозначение получим дифференциальное уравнение свободных продольных колебаний стержня Если дополнительно предпоюжить, что к стержню приложена внешняя сила рассчитанная на единицу объема и действующая вдоль оси стержня, то к правой части соотношения (5 3) добавится слагаемое и уравнение (5.4) примет вид что в точности совпадает с уравнением вынужденных котебаний струны. Перейдем теперь к установлению начальных и краевых условий задачи и рассмотрим практически наиболее интересный случай, когда один конец стержня закреплен, и другой - свободен. На свободном конце краевое условие будет иметь иной вид. Так как на этом конце внешние силы отсутствуют, то должна быть равна нулю и сила Т, действующая в сечении , т. е. Колебания происходят оттого, что в начальный момент стержень был деформирован (растянут или сжат) и точкам стержня были приданы некоторые начальные скорости. Следовательно, мы должны знать смещение поперечных сечений стержня в момент а также начальные скорости точек стержня Итак, задача о свободных продольных колебаниях стержня, закрепленного на одном конце, возникающих благодаря начальному сжатию или растяжению, привела нас к уравнению с начальными условиями и краевыми условиями Именно последнее условие и отличает с математической точки зрения рассматриваемую задачу от задачи о колебаниях струны, закрепленной на обоих концах. Будем решать поставленную эадачу методом Фурье, т. е. отыскивать частные решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям (5.8), в виде Так как дальнейший ход решения аналогичен уже изложенному в § 3, ограничимся только краткими указаниями. Дифференцируя функцию , подставляя полученные выражения в (5.6) и разделяя переменные, получим (Предоставляем читателю самостоятельно установить, что в силу краевых условий постоянная в правой части не может быть числом положительным или нулем.) Общее решение уравнения имеет вид В силу условий, наложенных на функцию будем иметь Решения, не тождественно равные нулю, будут получаться только при соблюдении условия , т. е. при , где k может принимать значения Итак, собственными числами задачи служат числа Каждому соответствует собственная функция Как мы уже знаем, умножая любую из собственных функций на произвольную постоянную, будем получать решение уравнения с поставленными краевыми условиями. Легко проверить, что, придавая числу k отрицательные значения, мы не получим новых собственных функций (например, при будет получаться функция, отличающаяся от собственной функции ) только знаком), Докажем прежде всего, что собственные функции (5.11) ортогональны в интервале . Действительно, при Если же , то Доказать ортогональность собственных функций ожно и иначе, не опираясь на их явные выражения, а пользуясь только дифференциальным уравнением и краевыми усювиями. Пусть и - два различных собственных числа, и - соответствующие им собственные функции. По определению эти функции удовлетворяют уравнениям и краевым условиям. Умножим первое из уравнений на второе на и вычтем одно из другого.Поперечные волны
Примеры решения задач
Задание
Определить направление распространения поперечной волны, если поплавок в некоторый момент времени имеет направление скорости, указанное на рисунке.
Решение
Сделаем рисунок.
6.1.
Продольные колебания стержней
,(173)
,
.(179)
,(180)
,(181)
.
, если .
, где С о - жёсткость опоры. Учитывая (183)
для продольной силы, получим граничное условие
.
,
, (184)
(n=1,2,…)
(n=1,2,…).(185)
.
при х=
.
.
.
.
.6.2.
Крутильные колебания валов
,
.
, (187)
,
(188)
(Jo-момент инерции
диска относительно оси стержня);
.
(n=1,2,…).
.
,
.
6.3.Изгибные
колебания балок
6.3.1.Основное
уравнение
.(191)
.
.(192)
.
.(195)
(198)
(200)
.(201)6.3.2.
Граничные условия
может быть при помощи
уравнения (194) записана так: ; она должна быть равна поперечной силеQ=EJX"""T , поэтому граничные условия
принимают вид
; X""=0 .(205)
(C o -коэффициент
жёсткости опоры).6.3.3.
Частотное уравнение и собственные формы
.
.
.(208)
.
,(209)6.3.4.
Определение движения по начальным условиям
(210)
.
.(211)
.(212)
.
(213)
(214)
6.3.5.
Влияние постоянной продольной силы
.
.(215)
дают . Удовлетворяя те же условия на правом конце, получим
.
.(219)6.3.6.
Влияние цепных усилий
.
.
.(220)
,(221)
,(222)
;.
.6.4. Влияние
вязкого трения
;
.(223)
,(225)
,(226)
,(227)
, приходим к равенству
,(228)
(229)
.(230)
.(233)
.(234)
,(235)
(236)6.5.
Колебания стержней переменного сечения
.(238)
,(239)
.(240)Задача обучения
Основные пункты
Термины
Пример
Продольные волны
(5.2)
